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誊肌 †

誊肌
ウィルソンの年妄
ウィルソンの年妄の炳脱
徊雇矢弗

ウィルソンの年妄 †

ウィルソンの黎勤であり艇客であったE.ウェアリングの螟荚∝Meditationes algebraicae≠∈1770∷に、ウィルソンの年妄として沮汤なしで券山された。
票钳にJ.L.ラグランジュは票じ冯蔡を沮汤烧きで券山した。

[年妄]ウィルソンの年妄
p¨燎眶
⑼ $(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$

[沮汤]

$$~p-1~$~!$
$=~1~\times~2~\times~\cdots~\times~$~p-1~$$
$\equiv~g^1~\times~g^2~\times~\cdots~\times~g^{$~p-1~$}$ 　∈㈣pの付幌含をgとすると、(p-1)までのすべての眶を付幌含のべきの妨で山せる∷
$\equiv~g^{1~+~2~+~\cdots~+~$~p-1~$}$
$=g^{\frac{p~$~p-1~$}{2}}$
$=~g^{\frac{1}{2}~$~p-1~$~$~p-1~$}~\times~g^{\frac{1}{2}~$~p-1~$}$
$=~$~g^{p-1}~$^{\frac{p-1}{2}}~\times~g^{\frac{p-1}{2}}$
$\equiv~1^{\frac{p-1}{2}}~\cdot~g^{\frac{p-1}{2}}~\,~$~mod~\,~p$$ 　∈㈣フェルマ〖の井年妄∷
$=~g^{\frac{p-1}{2}}$
$\equiv~-1~\,~$~mod~\,~p~$$ 　∈㈣∞1であるが、gは付幌含であるから、(p-1)捐までは+1とは稍圭票であるから。pは瘩燎眶であることに庙罢∷　ⅱ

[侍沮]

　挛Z/(p)をFと今く。F[X]の驴灌及f(X)=Xp-1-1を雇える。

　フェルマ〖の井年妄によって、肌が喇り惟つ。

$f~$~1~$~=0$
$f~$~2~$~=0$
∧
$f~$~p-1~$~=0$

　ここにおける0,1,∧などは、Fにおいて雇えているし、霹规もFにおいて雇えているのである。

　Fにおいても、1,2,∧,p-1は陵佰なるから、f(X)はF[X]の驴灌及として、 $~X-1~\)~$~X-2~$~\cdots~\(~X-p+1~$ となる。

　年眶灌の孺秤によって、 $$~p-1~$~!~=~-1~\,~in~\,~F$

　篓ち、 $~p-1~\)!~\equiv~-1~\,~\(~mod~\,~p~$ 　ⅱ

[侍沮]

　p=2のとき、∈焊收∷♂1、∈宝收∷♂-1⑨1 (mod 2)で喇り惟っている。

　そこで、pは3笆惧の瘩燎眶とする。

　≈Fpにおいて、 $x^{p-1}~-1~=~$~x-1~$~$~x-2~$~\cdots~\{~x-~$~p-1~$~\}$ と尸豺される∽という年妄がある。この霹及の尉收のxに0を洛掐すると、肌のようになる。

∈焊收∷♂-1
∈宝收∷♂(-1)(-2)∧{-(p-1)}♂(-1)p-1(p-1)!♂(p-1)!　∈㈣pは瘩眶だから、p-1は饿眶で、(-1)p-1=1になる∷

　ゆえに、(p-1)!⑨-1 (mod p)がいえた。　ⅱ

[侍沮]∈ガウスの沮汤∷

[1]p♀2の眷圭

aを1,2,∧,p-2,p-1のどれかとする。
称」のa∈1″a″p-1∷に滦して、aˇb⑨1 (mod p)となるb∈1″b″p-1∷が赂哼する。
なぜならば、≈ax⑨1 (mod p)はただ1つの豺x=b∈1″b″p-1∷を积つ∽からである。

このとき、a=bとなるようなaはx2⑨1 (mod p)の豺である。

$x^2~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$x^2~-1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$(x+1)(x-1)~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$x+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}~\,~or~\,~x-1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$x~\equiv~\pm~1~\,~\pmod{p}$
$x~\equiv~1~\,~p-1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣豺x⑨-1はx⑨p-1と票じため∷

このようにして、{2,3,∧,p-2}はab⑨1となるa,bを1寥として $\frac{p-3}{2}$ 改の寥に尸けられる。

よって、肌が喇り惟つ。

$2~\cdot~3~\cdot~\cdots~\cdot~(p-3)(p-2)~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ $p-1~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ ∷

[1]p=2の眷圭

$1!~\equiv~-1~\,~\pmod{2}$ 　ⅱ

[侍沮]∈ルジャンドルの沮汤∷

オイラ〖の超捐给及より、笆布が喇り惟つ。

$n!~=~\sum_{k=0}^{n}~(-1)^k~\left(\begin{matrix}n~\\~k~\\\end{matrix}\right)~(a-k)^n$
$(p-1)!~=~\sum_{k=0}^{p-1}~(-1)^k~\left(\begin{matrix}p-1~\\~k~\\\end{matrix}\right)~(p-k)^{p-1}$ 　∈㈣a=p,n=p-1とおいた∷
$(p-1)!~\equiv~\sum_{k=1}^{p-1}~(-1)^k~\left(\begin{matrix}p-1~\\~k~\\\end{matrix}\right)~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣pは燎眶なので、フェルマ〖の井年妄より、k♀0の灌は $(p-k)^{p-1}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 。办数、k=0の灌は $p~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ より、 $p^{p-1}~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ );　シグマのk=1に庙誊。
$(p-1)!~\equiv~(1-1)^{p-1}~-~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣[年妄]≈pを燎眶とすると、 $\left(\begin{matrix}p~\\~k~\\\end{matrix}\right),~\,~(1~\le~k~\le~p-1)$ はすべてpで充り磊れる∽∷
$(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　ⅱ

[侍沮]∈ディリクレの沮汤∷

[年妄]≈pを燎眶、pはaを充り磊らないとする。
[1]x2⑨aに豺がない眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~1$
[2]x2⑨aに豺がある眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~-1$ ∽において、[2]の眷圭かつa=1の眷圭を雇える。
すると、ウィルソンの年妄そのものである。　ⅱ

↑

ウィルソンの年妄の炳脱 †

[年妄]pを燎眶、pはaを充り磊らないとする。
[1]x2⑨aに豺がない眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~1$
[2]x2⑨aに豺がある眷圭、 $a^{\frac{p-1}{2}}~\equiv~-1$

[沮汤]∈ディリクレの沮汤∷

pを燎眶とし、pはaを充り磊らないとする。

[年妄]≈pは燎眶、aは腊眶でpの擒眶でないとすると、扦罢の腊眶cに滦して、数镍及ax⑨c (mod p)はただ1つの豺を积つ∽より、1″m″p-1ならば、 $mn~\equiv~a~\,~\pmod{p}$ となるn∈1″n″p-1∷がちょうど1つ赂哼する。

[1]x2⑨a (mod p)に豺がない眷圭

{1,2,∧,p-1}はmn⑨aとなる(p-1)/2改の寥{m,n}に尸充されるから、肌が喇り惟つ。

$(p-1)!~\equiv~a^{\frac{p-1}{2}}~\,~\pmod{p}$

[2]x2⑨a (mod p)に豺がある眷圭

1つの豺をkとすると、荒りの豺はp-k∈⑨-k∷である。

kとp-kを近くと、{1,2,∧,p-1}はmn⑨aとなる(p-3)/2改の寥{m,n}に尸充されるから、肌のように鸥倡できる。

$(p-1)!$
$\equiv~k(p-k)a^{\frac{p-3}{2}}$
$\equiv~-k^2~a^{\frac{p-3}{2}}$ 　∈㈣p-k⑨-kだから∷
$\equiv~-a^{\frac{p-1}{2}}$ 　ⅱ

[年妄]
[1]≈p¨1房の燎眶∽⑼≈ $((\frac{p-1}{2})!)^2~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ ∽
[2]≈p¨3房の燎眶∽⑼≈ $(\frac{p-1}{2})!~\equiv~1~\,~or~\,~-1~\,~\pmod{p}$ ∽

[沮汤]

[1]pが1房の燎眶の眷圭

$(p-1)!~\equiv~1~\cdot~2~\cdot~\cdots~\cdot~\frac{p-1}{2}~\cdot~\frac{p+1}{2}~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)~(p-1)$
$(p-1)!~\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~(1~\cdot~2~\cdot~\cdots~\cdot~\frac{p-1}{2})^2~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ $p-1~\equiv~-1,~p-2~\equiv~-2,~\cdots,~\frac{p+1}{2}~\equiv~-~\frac{p-1}{2}~\,~\pmod{p}$ ∷
$(p-1)!~\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~((\frac{p-1}{2})!)^2~\,~\pmod{p}$
$-1~\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~((\frac{p-1}{2})!)^2~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ウィルソンの年妄より、 $(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ ∷ $((\frac{p-1}{2})!)^2~\equiv~(-1)^{\frac{p+1}{2}}\,~\pmod{p}$ 　(*)
$((\frac{p-1}{2})!)^2~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣pが1房の燎眶の眷圭、篓ちp=4n+1の眷圭、 $(-1)^{\frac{p+1}{2}}~=~(-1)^{2n+1}~=~-1$ ∷

[2]pが3房の燎眶の眷圭

$((\frac{p-1}{2})!)^2~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣pが3房の燎眶の眷圭、篓ちp=4n-1の眷圭、 $(-1)^{\frac{p+1}{2}}~=~(-1)^{2n}~=~1$ ∷
$((\frac{p-1}{2})!+1)((\frac{p-1}{2})!-1)~\equiv~0~\,~\pmod{p})$
$(\frac{p-1}{2})!~\equiv~1~\,~or~\,~-1~\,~\pmod{p}$ 　ⅱ

[毋]p=13の眷圭

$(\frac{p-1}{2})!=(\frac{13-1}{2})!=6!=720~\equiv~5~\,~\pmod{13}$ より、 $((\frac{p-1}{2})!)^2~=~5^2~\equiv~-1~\,~\pmod{13}$

办数、p=13は1房の燎眶である∈なぜならば、p=4ˇ3+1であるため∷。
よって、惧淡の年妄より、恕13で-1が喇り惟つ。　〓

[年妄]n′4が燎眶でなければ、n|(n-1)!

[沮汤]

[1]nが燎眶の2捐でない眷圭

nはn=kl∈1°k°l°n-1∷のように尸豺できる。

kもlも(n-1)!=1ˇ2ˇ∧ˇkˇ∧ˇlˇ∧ˇ(n-1)の面に傍灰として附れるから、klは(n-1)!を充り磊る。篓ち、kl|(n-1)!である。

[2]nが燎眶pの2捐の眷圭

pと2pが(n-1)!=1ˇ2ˇ∧ˇpˇ∧ˇ2pˇ∧ˇ(n-1)の面に傍灰として附れるから、p2は(n-1)!を充り磊る。篓ち、p2|(n-1)!である。
ただし、2p′n-1=p2-1の眷圭は、この的侠は奶脱しないが、それはp=2の眷圭だけであり、n′4という簿年よりこの啼玛は栏じない。　ⅱ

[年妄]
[1]≈n¨燎眶∽⑼≈ $(n-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{n}$ ∽
[2]≈n¨燎眶ではない∽⑼≈ $(n-1)!~\not{\equiv}~-1~\,~\pmod{n}$ ∽

[沮汤]

[1]ウィルソンの年妄そのものである。

[2][年妄]≈n′4が燎眶でなければ、n|(n-1)!∽より、(n-1)!はnで充り磊れる。つまり、n-1では充り磊れない。　ⅱ

[输怪]この年妄を燎眶冉年に网脱できるが、nが警しでも络きくなると(n-1)!は叼络な眶となり悸狠には舔に惟たない。　〓

[年妄]pが瘩燎眶のとき、肌の圭票及が喇り惟つ。
[1] $1^2~\cdot~3^2~\cdot~5^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)^2~\equiv~(-1)^{\frac{p+1}{2}}~\,~\pmod{p}$
[2] $2^2~\cdot~4^2~\cdot~6^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)^2~\equiv~(-1)^{\frac{p+1}{2}}~\,~\pmod{p}$

[沮汤]

[1]

$1^2~\cdot~3^2~\cdot~5^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)^2~\,~\pmod{p}$
$\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~1~\cdot~(-1)~\cdot~3~\cdot~(-3)~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)(-p+2)~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣1×p-2の瘩眶は(p-2)/2改である∷
$\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~1~\cdot~(p-1)~\cdot~3~\cdot~(p-3)~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)(2)~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣恕pで雇える∷
$\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~1~\cdot~2~\cdot~3~\cdot~4~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)~\,~\pmod{p}$
$\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~(p-1)!~\,~\pmod{p}$
$\equiv~(-1)^{\frac{p-1}{2}}~(-1)~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ウィルソンの年妄∷
$\equiv~(-1)^{\frac{p+1}{2}}~\,~\pmod{p}$ 　ⅱ

[2]

$(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣ウィルソンの年妄∷
$((p-1)!)^{2}~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣尉收を2捐した∷
$1^2~\cdot~2^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)^2~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$1^2~\cdot~3^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-2)^2~\cdot~2^2~\cdot~4^2~\cdot~6^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)^2~\equiv~1~\,~\pmod{p}$
$(-1)^{\frac{p+1}{2}}~\cdot~2^2~\cdot~4^2~\cdot~6^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)^2~\equiv~1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣[1]より∷
¤ $2^2~\cdot~4^2~\cdot~6^2~\cdot~\cdots~\cdot~(p-1)^2~\equiv~(-1)^{\frac{p+1}{2}}~\,~\pmod{p}$ 　ⅱ

[年妄]ライプニッツの年妄
极脸眶p′2について、肌が喇り惟つ。
≈p¨燎眶∽⑽≈ $(p-2)!-1$ がpの擒眶∽

[沮汤]

[1]⑼を绩す。

$(p-1)!~\equiv~-1~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣pは燎眶なので、ウィルソンの年妄が蝗える∷
$(p-1)!~+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$(p-1)(p-2)!~+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$p(p-2)!~-~(p-2)!~+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣(p-1)(p-2)!を尸豺する∷
$-(p-2)!~+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
¤ $(p-2)!~-1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$

[2]を绩す。

腊眶p∈′2∷について、 $(p-2)!-1$ がpの擒眶であるとする。

$(p-2)!-1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$(p-1)((p-2)!-1)~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　∈㈣尉收にp-1をかけた∷
$(p-1)(p-2)!-(p-1)~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$(p-1)!-(p-1)~\equiv~0~\,~\pmod{p}$
$(p-1)!+1~\equiv~0~\,~\pmod{p}$ 　(*)

ここで、pが燎眶ではないと簿年する。
すると、1より络きく、pより井さい腊眶a,bがあり、p=abと今ける。
このとき、a,bはpより井さく、p=abであるため、a,bは(p-1)!の腆眶になる。また、(*)より、(p-1)!+1はpの擒眶であり、p=abであるため、a,bは(p-1)!+1の腆眶になる。
しかし、この尉数を塔たすのは稍材墙である。
したがって、pは燎眶である。　ⅱ

[毋]

p=3の眷圭
- (3-2)!-1=1-1=0は3の擒眶である。
p=4の眷圭
- (4-2)!-1=2-1=1は4の擒眶ではない。
p=5の眷圭
- (5-2)!-1=6-1=5は5の擒眶である。
p=6の眷圭
- (6-2)!-1=24-1=23∈燎眶∷は6の擒眶ではない。
p=7の眷圭
- (7-2)!-1=119=7ˇ24は7の擒眶である。

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∝なっとくするオイラ〖とフェルマ〖≠

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