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オイラーの恒等式

[定理]オイラーの恒等式
({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2)~({y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2+{y_4}^2)~=~{z_1}^2~+~{z_2}^2~+~{z_3}^2~+~{z_4}^2
ただし、

  • z_1~=~x_1~y_1~+~x_2~y_2~+~x_3~y_3~+~x_4~y_4
  • z_2~=~x_1~y_2~-~x_2~y_1~+~x_3~y_4~-~x_4~y_3
  • z_3~=~x_1~y_3~+~x_2~y_4~-~x_3~y_1~+~x_4~y_2
  • z_4~=~x_1~y_4~+~x_2~y_3~-~x_3~y_2~-~x_4~y_1

[証明]\alpha,\beta,\gamma,\deltaを複素数、\bar{\alpha},\bar{\beta},\bar{\gamma},\bar{\delta}をその共役複素数とするとき、次の恒等式が成り立つ。

(\alpha~\bar{\alpha}~+~\beta~\bar{\beta})~(\gamma~\bar{\gamma}~+~\delta~\bar{\delta})~=~(\alpha~\bar{\gamma}~+~\beta~\bar{\delta})(\bar{\alpha}~\gamma~+~\bar{\beta}~\delta)~+~(\alpha~\delta~-~\beta~\gamma)(\bar{\alpha}~\bar{\delta}~-~\bar{\beta}~\bar{\gamma})

そして、\alpha~=~x_1~+~ix_2,\beta=x_3~+ix_4,~\gamma=y_1~+~iy_2~,~\delta=y_3~+~iy_4を代入すると、題意の恒等式が得られる。 □

[補講]このような公式を発見するのは難しい。

オイラーがどのようにしてこの恒等式を見つけたのは分からないが、実変数の恒等式をもとにして、複素数の恒等式を類推したとしても不自然ではない。

しかし、オイラーの時代にはなかったハミルトンの4元数を使うと自然な証明が得られる。 ◇

参考文献

  • 『なっとくするオイラーとフェルマー』