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シャノンの定理

[定理]シャノンの定理(標本化定理)
Wを正の数とする。
数直線上の連続な関数f(x)に対し、f(x)2が可積分であり、かつ|a|>πWとなるすべてのaに対して、
\int_{-\infty}^{\infty}~f(x)(\cos(ax)~+~\i~\sin(ax))dx~=~0
が成り立つならば、
f(x)=\Sigma~\frac{f(\frac{k}{W}}{\pi~(Wx-k))}~\sin(\pi~(Wx-k)) ←(*)
である。
ただし、右辺の和はすべての整数kにわたるものとする。

  • シャノンの定理はf(x)が飛び飛びの値から復元できるための条件をf(x)のフーリエ変換を用いて表したものである。
  • シャノンの定理はアナログ情報を質を保持したままデジタル化するために不可欠なものを教えてくれるが、数学の定理としてだけならシャノン以前に知られていた。標本化定理の展開式(*)と同じものを最初に発見したのは英国のE・T・ホイッタカーである。
    • 定理の一般的な定式化と証明の方針は小倉金之助の複素解析の論文で示され、ホイッタカーにより完全に確立された。

[補講]シャノンの論文の意義は補完定理を情報伝達に結び付けたところにある。これに気付いたのはシャノンだけではなかった。1935年にソビエト連邦のV・コテルニコフ、1938年にドイツのH・ラーベ、1949年に日本の染谷勲が互いに独立に同じ理論を発表していた。当時の国際情勢は彼らの交流を許していなかったため、このような事態になったのだ。 ◇

参考文献

  • 『寄り道の多い数学』