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ハフマンアルゴリズム

目次 †

圧縮後のバイナリコードの設計 †

　例えば、100,000文字のデータファイルを圧縮したいとする。このとき、a〜fの各アルファベットの頻出回数は次のようになったとする。

　各アルファベットのバイナリコードとして、固定長のバイナリコードに変換するのが自然な方法である。一方、頻出回数が多いアルファベットに対して、短いバイナリコードをうまく対応させれば、バイナリ変換後の総文字コード数は固定長の場合に比べて少なくなる。つまり、圧縮できているとことである。

固定長を採用した場合 †

　a〜fを上記の表のように3ビットの固定長のバイナリコードに対応させたとする。この方式を採用したとき、ファイル全体として300,000ビットになる。

可変長を採用した場合 †

　101は4ビットのバイナリコードに対応されるが、最も頻出頻度が高い0は1ビットのバイナリなりコードに対応される。バイナリ変換後の総文字コード数は次のように計算できる。

　固定長時は300,000ビットであったが、可変長時は224,000ビットになった。よって、圧縮率は約0.75（＝224,000/300,000）になる。つまり、25%分だけ圧縮できたことを意味する。

ハフマン符号 †

　可変長を採用した場合のバイナリコードはハフマン符号（Huffman code）と呼ばれたものがある。

　ハフマン木を用いて最も効率的なバイナリコードが割り当てられる。割り当て用のバイナリコードの作成手順は次の通りである。

1. 各記号を生起確率の降順に並べる。ただし、同じ生起確率を持つ記号はどちらが先でも構わない。
2. 生起確率の最も小さい記号とその次に小さい記号を葉として、新たな節点を設ける。その節点にそれら2つの記号の生起確率の合計を与える。その節点から生起確率が小さい記号に向かう枝に1というラベルを、もう片方の枝に0というラベルを与える。
3. ステップ2で作成した節点を新たな記号と見なして、新たに節点を作ることができなくなるまでステップ2を繰り返す。
4. 最上位の節点（根）から各記号に至る各枝に与えられたラベルの系列が、その記号のハフマン記号である。

例1：記号列aaaabbc（aが4文字、bが2文字、cが1文字）に対するハフマン木は次のようになる。

　このハフマン木から、各アルファベットのハフマン符号を導ける（上から枝のラベルを見ていけばよい）。

• aのハフマン符号：0
• bのハフマン符号：10
• cのハフマン符号：11

　また、各アルファベットの生起確率は次のようになる。

• aの生起確率：P(a)=4/7
• bの生起確率：P(b)=2/7
• cの生起確率：P(c)=1/7

　ハフマン符号と生起確率を比較すると、生起確率の高いaには短いバイナリコードである0が割り当てられたことが確認できるはずだ。

例2：記号列xyyyyzzzzuuuuuvvvvvv（xが1文字、y,zが4文字、uが5文字、vが6文字）に対するハフマン木は次のようになる。葉から節を作るときは、最小のものと2番目に小さいものから作ることに注意。よって、9/20を作った次は、6/20と5/20から11/20を作らなければならない。

• xのハフマン符号：101
• yのハフマン符号：100
• zのハフマン符号：11
• uのハフマン符号：01
• vのハフマン符号：00

[補講]可変長のバイナリコードの場合は、ハフマン木が採用される。一方、固定長のバイナリコードの場合は、完全2分木が採用される。だから、各アルファベットのバイナリコードは同じビット長を持つわけである。

　もし、例1のabcという文字列をまとめて圧縮したときのバイナリコード列は、01011（＝0・10・11）になる。このように変換することがエンコードである。一方、符合化された記号列を元の記号列に戻すことをデコード（復号）という。静的ハフマン符号の手法では、復号のために記号と符号の対応表が必要である。

ハフマンアルゴリズム（Huffman's algorithm） †

　各記号を次のように定義する。

• C
  • n個の文字の集合
• c
  • Cの要素（c∈C）。即ち、Cに含まれる文字のこと。
• f(c)
  • cの頻出頻度、即ちcの生起確率
• Q
  • 優先待ち行列（priority queue）
    • 優先度の大きいものから要素を取りだす仕組みになっているデータ構造。

　ハフマン木を生成するハフマンアルゴリズムの主要関数Huffman(C)は次のように構成される。

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11

n←|C|
Q←C
for i←1 to n-1
    z←Allocate-Node()
    left[z]←Extract-Min(Q)
    x←left[z]
    right[z]←Extract-Min(Q)
    y←right[z]
    f[z]←f[x]+f[y]
    Insert(Q,z)
return Extract-Min(Q)

　2行目で、Cに含まれる文字たちをQにセットする。
　for文で最小値と2番目に小さい値をQから取り出して、それぞれをx,yにセットする。そして、x,yの生起確率の和をzの生起確率としてセットする（zはあらかじめノードとして定義しておいた）。そのzをQに挿入する。これをn-1回繰り返す。
　最終的にハフマン木の根を返している。

　最後に計算量を分析する。
　2行目のQの初期化において、QはバイナリヒープなのでBuild-Heapアルゴリズムを実行する。よって、回になる。
　forループの中の各ヒープの操作に回必要なので、forループ全体で見るとこれを|n|-1回繰り返す。よって、回になる。
　総合すると、n個の文字の集合Cを処理するためには回必要である。

ハフマンアルゴリズムの完全性（correctness） †

[補題1]
Cの中で頻度回数が1番目・2番目に小さいものをそれぞれx,yとする。
このとき、「同じビット長かつ最後のビットだけが異なる」ようなx,yのcodewordを含むoptimal prefix codeが存在する。

[補講2]
Tを、C上のoptimal prefix codeを表す完全2部木とする。また、f[c]をc∈Cの頻度回数とする。
Tの兄弟葉である2つのx,y、x,yの親としてzを考える。
このとき、f[z]=f[x]+f[y]の頻度回数を持つ文字としてzを考えると、木T'=T-{x,y}はC'=C-{x,y}∪{z}のoptimal prefix codeを示す。

[定理]
Huffmanはoptima prefix codeを生成する。

[証明]補題1と2より、成り立つ。　□

ハフマン符号における圧縮率 †

　圧縮率の定義から、ハフマン符号における圧縮率の公式を作ることができる。このとき、記号と符号の対応表の存在を忘れてはいけない。

（圧縮率）＝｛（ハフマン符号化された記号列のビット長）＋（記号と符号の対応表のビット数）｝/（原記号列のビット数）

　なお、「記号と符号の対応表のビット数」の長さは、記号をM種類とすると、約ビットになる。

参考文献 †

• 『INTRODUCTION TO ALGORITHMS』
• 『ソフトウェア開発技術者　大滝みや子先生のアルゴリズム教科書』
• 『ソフトウェア開発技術者試験対策　コンピュータサイエンス補足資料＋午後演習問題』