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ラミの定理

[定理]ラミの定理
次の図のように点Oに3力が働き、これらの3力が釣り合うときには、3力の大きさと各力の作用線のなす角の間には、次の関係が成り立つ。

\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}}~=~\frac{F_2}{\sin{\alpha_2}}~=~\frac{F_3}{\sin{\alpha_3}}

[証明]

[1]F1がx軸となるように、xy座標系を設定する。

このとき、各力のx,y成分は次のようになる。

  • F1のx,y成分
    • F_{1x}~=~F_1
    • F_{1y}~=~0
  • F2のx,y成分
    • F_{2x}~=~F_2~\cos{\alpha_3}
    • F_{2y}~=~F_2~\sin{\alpha_3}
  • F3のx,y成分
    • F_{3x}~=~F_3~\cos{\alpha_2}
    • F_{3y}~=~F_3~\sin{\alpha_2}

3力が釣り合うため、F2とF3のy成分について、次が成り立つ。

F_{2y}=F_{3y}
F_2~\sin{\alpha_3}~=~F_3~\sin{\alpha_2}
\frac{F_2}{\sin{\alpha_2}}~=~\frac{F_3}{\sin{\alpha_3}} ←(*)

[2]F3がx軸となるように、xy座標系を設定する。

  • F1のx,y成分
    • F_{1x}~=~F_1~\cos{\alpha_2}
    • F_{1y}~=~F_1~\sin{\alpha_2}
  • F2のx,y成分
    • F_{2x}~=~F_2~\cos{\alpha_1}
    • F_{2y}~=~F_2~\sin{\alpha_1}
  • F3のx,y成分
    • F_{3x}~=~F_3
    • F_{3y}~=~0

3力が釣り合うため、F1とF2のy成分について、次が成り立つ。

F_{1y}=F_{2y}
F_1~\sin{\alpha_2}~=~F_2~\sin{\alpha_1}
\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}}~=~\frac{F_2}{\sin{\alpha_2}} ←(**)

ゆえに、(*)(**)より以下が成り立つ。

\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}}~=~\frac{F_2}{\sin{\alpha_2}}~=~\frac{F_3}{\sin{\alpha_3}} □

参考文献

  • 『絵ときでわかる機械力学』