[定義]群G1から群G2への写像fが準同型写像であるとは、G1の任意の元x,yに対して、次が成り立つことである。
f(xy)=f(x)f(y)
[例題]Gを群、NをGの正規部分群とする。群Gから商群G/Nへの写像fをf(x)=xNによって、定義すれば、「f:G→G/N」は準同型写像であることを示せ。
[解答]fが準同型写像であることを示すためには、f(xy)=f(x)f(y)が成り立つことを確認すればよい。
(左辺)
=f(xy)
=xyN
一方、
(右辺)
=f(x)f(y)
=(xN)(yN)
=xyN (∵G/Nの積の定義より)
よって、(左辺)=(右辺)より、fは準同型写像である。 ◇
[定理]準同型写像は単位元を単位元に移し、逆元を逆元に移す。
[証明]G1,G2を共に群とする。
[1]前半を示す
G1の単位元をe1、G2の単位元をe2とする。
「f:G1→G2」を準同型写像であるとすると、f(e1)=e2が成り立つことを示せばよい。
G1において、e1e1=e1が成り立つ。
これをfで移すと、f(e1)f(e1)=f(e1)となる。
f(e1)はG2の元であるため、G2におけるf(e1)の逆元を右からかけると、f(e1)=e2となる。
[2]後半を示す
aをG1の任意の元とするとき、f(a-1)=(f(a))-1を示せばよい。
G1において、aa-1=e1が成り立つ。
これをfで移すと、f(a)f(a-1)=f(e1)となる。
前半の結果より、f(a)f(a-1)=e2
G2において、G2の元f(a)の逆元を左からかけると、f(a-1)=(f(a))-1となる。 □
[定理]Gを群、aをGの1つの元とする。
加法群Zから群Gへの写像fをf(x)=axで定義すれば、f:Z→Gは準同型写像になる。
[証明]Zの任意の元x,yに対して、次が成り立つ。
f(x+y)
=ax+y
=(ax)(ay)
=f(x)f(y)
よって、fは準同型写像である。 □
[定義]f:G1→G2を群G1から群G2への準同型写像とする。
G1の元でfによって、G2の単位元に移されるもの全体の集合をfの核といい、Ker(f)で表す。
また、G2の元でf(x) (x∈G1)の形で表れるもの全体の集合をfの像といい、f(G1)またはIm(f)で表す。
記号を使って表現すると次のように書ける。
Ker(f)={x∈G1|f(x)=e2}
[定理]f:G1→G2を群G1から群G2への準同型写像とする。
このとき、fの核Ker(f)は、G1の正規部分群である。
[証明]
[1]fの核Ker(f)はG1の部分群であることを確かめる。
よって、Ker(f)はG1の部分群になる。
[2]Ker(f)はG1の正規部分群であることを確かめる。
正規部分群の定義より、「g∈G1,n∈Ker(f) ⇒ g-1ng∈Ker(f)」が成り立つことを確認すればよい。
f(g-1ng)
=f(g-1)f(ng) （∵fは準同型写像であるから）
=f(g-1)f(n)f(g) （∵fは準同型写像であるから）
=f(g-1)e2f(g) （∵n∈Ker(f)より、f(n)=e2）
=f(g-1)f(g) （∵e2はG2の単位元であるから）
=f(g-1g) （∵fは準同型写像であるから）
=f(e1) （∵e1はG1の単位元であるから）
=e2 （∵[定理]「準同型写像は単位元を単位元に移し、逆元を逆元に移す」の前半より）
よって、g-1ng∈Ker(f)
以上より、Ker(f)はG1の正規部分群である。 □
[定理]f:G1→G2を群G1から群G2への準同型写像とする。
このとき、fの像f(G1)は、G2の部分群である。
[証明]f(G1)はG2の元からなる集合であるため、f(G1)がG2の部分集合であるためには、次の3条件を示せばよい。ただし、e2はG2の単位元とする。
[1]x,y∈f(G1)⇒xy∈f(G1)を示す
xy
=f(a)f(b) （∵x,y∈f(G1)とすると、x=f(a),y=f(b), a,b∈G1という形に書けるから）
=f(ab) （∵fは準同型写像であるため）
∈f(G1)
[2]e2∈f(G1)を示す
e2
=f(e1) （∵ここでG1の単位元をe1として、[定理]「準同型写像は単位元を単位元に移し、逆元を逆元に移す」の前半より）
∈f(G1)
[3]x∈f(G1)⇒x-1∈f(G1)を示す
x-1
=(f(a))-1 （∵x=f(a), a∈G1と置いた）
=f(a-1) （∵[定理]「準同型写像は単位元を単位元に移し、逆元を逆元に移す」の後半より）
∈f(G1) □
