[定義]群Gの元aに対して、anの形の元(nは整数）全体の作る集合を<a>で表す。
a>={…, a-3, a-2, a-1, a0, a1, a2, a3, …}
[定義]G=<a>があるとき、<a>は巡回群であるといい、aはその生成元という。
生成元は1つとは限らない。
[例]Zは加法に関して無限巡回群で、その生成元は1,-1である。 ◇
[定理]<a>はGの部分群である。
[証明の方針]<a>はGの元から成る集合であるため、部分群の判定法を用いる。
[証明]
[1]まず、<a>が積に閉じていることを示す。
a>に属する元はaの累乗であるため、2つかけるとaman=am+nとなり、結局aの累乗である。
よって、<a>は積について閉じている。
[2]aの0乗は単位元だから、単位元は<a>に属する。
[3](an)-1=a-nだから、<a>に属する元の逆元は、また<a>に属する。
ゆえに、[1]〜[3]より、<a>はGの部分群である。 □
[定義]群Gの部分群の中で<a>の形のものを、Gの巡回部分群という。
[定義]G自身がある巡回部分群に等しいとき、即ちG=<a>であるとき、Gは巡回群という。
このとき、aは巡回群Gの生成元という。
[定義]巡回群はアーベル群である。
[証明の方針]巡回群は群であるため、交換法則だけを確認すればよい。
[証明]G=<a>を巡回群とする。
2つの元amとanを取ると、
ここで、m+n=n+nであることを用いると、aman=anamが成り立つ。つまり、交換法則が成り立つ。
ゆえに、巡回群Gはアーベル群である。 □
[定理]群Gの元aの位数は、巡回部分群<a>の位数に一致する。
[証明の方針]
[1]群Gの元aの位数が有限の場合
aの位数をkとする。
a>={e,a,a2,…,ak-1}
|<a>|=k
[2]群Gの元aの位数が無限の場合
a>={…,a-2,a-1e,a,a1,a2,…}
|<a>|=∞
[定理]巡回群の部分群は、巡回群である。
[証明]Gを巡回群、aをその生成元とする。即ち、G=<a>とする。
HをGの部分群とする。
[1]Hが単位群の場合、即ちH={e}の場合
H={e}=<e>
よって、Hは(eを生成元とする）巡回群となる。
[2]Hが単位群ではない場合
Hが単位群でなければ、e以外の元が少なくとも1つHに属する。
Hの元はG=<a>の元でもあるため、その元はaM (Mは整数)の形になり、しかもMは0ではない(∵a0=e)。
Hは部分群なので、aMの逆元(aM)-1=a-MもHに属する。
Mは0でないから、Mと-Mのどちらか一方は正の整数とする。
つまり、a1,a2,…というGの元の列の中に、Hに属するものが必ず出てくる。 そこで、a1,a2,…の中で最初にHに属するものをakとする。
まず、Hが部分群でakがHの元だから、<ak>の元はすべてHの元になる。
逆に、xをHの元とすると、Hの元はG=<a>の元でもあるから、x=anと書ける（nはある整数）。
ここで、nをkで割って商をq,余りをrとすると、n=kq+r, 0≦r＜kとなる。
よって、
x
=an
=akq+r
=(ak)qar
∴x=(ak)qar ←(*)
ここで、(ak)qはHの元だから、その逆元もHの元である。
それを(*)の左からかけると、xはHの元だから、arがHの元になる。
rはnをkで割った余りで、0≦r＜kという不等式を満たしている。
もし、rが0ではないと仮定すると、0＜r＜kとなるが、これはa1,a2,…の中で最初にHに属するものをakとしたのに、それより前にarがHに属してしまうので、矛盾が生じる。
よって、r=0であるため、n=kq+r=kqとなる。
つまり、
x=an=akq(ak)qとなり、<ak>に属することがわかる。
Hの元はすべて<ak>に属し、逆に<ak>の元はすべてHに属するので、H=<ak>となり、Hは巡回群である。 □
