[定義]整域
零環でない可換環で、零元0R以外の零因子を持たないものを整域（integral domain）という。
零環とは、1=0である環R、即ちR={0}のことである。
例：整数環、多項式環が整域である。 ◇
可換環の定義と整域の定義を組み合わせると次がすぐ言える。
[定理]「可換環Rが整域である」⇔「∀a,b∈R;a・b=0 ⇒ a=0 or b= 0」
[定義]既約元、素元
R：整域
a（∈R）：可逆元（単元）でも0でもない元
とする。
「分解a=bc（b,c∈R）があれば、bまたはcが単元になるとき、aをRの既約元（irreducible element）という。
また、b,c∈Rにおいて、「a|bc⇒a|b or a|c」という条件を満足するとき、aをRの素元という。
[定義]同伴
R：整域
a,b∈R
とする。
「「b|a ∧ a|b」⇒「∃u∈R s.t. a=u・b」」
⇔def「aとbは同伴（associate）であるといい、a〜bで表す」
互いに同伴な元は整除に関する振る舞いを共にする。
a,b：同伴のとき、a|c⇔b|c
[定理]素元は既約元である。
[証明]
aを素元として、a=bcとすれば、a|b or a|cが成立する。
ここで、a|bとする。
a|b
⇔b=ad（∃d∈R）
⇔b=bcd （∵a=bc）
⇔b(1-cd)=0
⇔cd=1 （∵Rは整域∧a≠0よりb≠0）
⇔cは単元（可逆元）
同様にして、bは単元
よって、a=bc（b,c∈R）のとき、b or cが単元であるので、aは既約元。
[定理]
aが素元のとき、
a|b1…br⇒∃i∈{1,…,r} s.t. a|bi
[証明]
素元の定義より、a|b1 or a|b2…br
後者の場合には、a|b2 or a|b3…br
以下同様にすれば、a|b1 or a|b2 or … or a|br
[定理]整域Rでは消去律が成り立つ。
a,b,c∈Rにおいて、
「a・c=b・c∧c≠0」⇒「a=b」
[証明]仮定のa・c=b・cより、(a-b)・c=0が成り立つ。
ここでRは整域であるから、0と異なる零因子はない。つまり、c≠0より、a-b=0になるほかない。よって、a=b □
[定理]整域Rが次の性質を満たせば一意分解整域である。
(i)0でも単元でもない元は既約分解を持つ。
(ii)既約元は素元である。
[定義]標数
可換環Rの標数（characteristic）とは、n・1=1+…+1=0を満たす最小の自然数のことである。
そのようなnが存在しないとき、標数は0と定義する。
Rの標数の記号をchar(R)で表す。
例1：char(Z)=0
Zは循環していないから。
例2：char(Zp)=p
[定理]char(R)=n(＞0)とする。
このとき、「m・1=0」⇔「mはnの倍数」。
[証明]
[1]⇒を示す
∃a,b∈Z s.t. m=na+b ∧ 0≦b＜n
仮定より、0=na+bとなり、na=-bが成り立つ。
ここでb≠0とすると、a|b ∧ n|b
しかし、0≦b＜nとn|bは矛盾。
よって、b=0となり、m=na。つまり、n|m
[2]←を示す
仮定よりn|m
このとき、m・1≠0と仮定して矛盾を導く。
n≠0
0≠0 (mod n)
矛盾□
[定理]整域Rの標数は0か素数である。
[証明]char(R)=n（＞0）とし、
nを合成数n=n'n’’（n'＞1,n''＞1）と仮定する。
n・1=0
n'・n''=0
(n'・1)(n''・1)=0
n'・1=0 or n''・1=0 （∵Rは整域）
これはnが標数であることに矛盾する。
ゆえに、nは0 or 素数である。□
[定理]可換体は整域である。
[証明]体F∋a,bに対して、ab=0とする。
このときa≠0ならば、-1∈F （∵定義より0でないRの元aはRにおいて乗法逆元a-1を持つから）
よって、
要するにab=0∧a≠0ならば、必ずb=0になってしまい、a,bは零因子にならない。 □
この定理の逆は必ずしも成り立たない。
例1：整数Zは整域であるが、体ではない。
Zは加法と乗法が定義されている。Zは加法に関して群になっている。また、乗法に関する結合律と分配法則は成立し、1(∈Z)が乗法の単位元である。さらに、乗法は可換であるから、Zは可換環になる。
そして、任意の整数m,n(∈Z)について、「m≠0∧n≠0⇒mn≠0」である。対偶を取れば「mn=0⇒m=0 or n=0」である（Zは0と異なる零因子を持たない）。よって、Zは整域である。
例2：Q,R,Cは整域であり、体でもある。
とすると、
である。よって、a・a-1=1より、Qの0以外の元は可逆元である。よって、Qは体である。
R,Cについても同様である。
例3：は可換環であり、nが素数のとき整域にもなる[1]。
[1]n=4のとき
は可換環であるが、2・2=0より、2は零因子となる。よって、
は整域ではない。
[2]n=5のとき
は整域であり、さらに体にもなっている。なぜならば、
は乗法に関して群になるからである。
次のように元の個数に制限がある場合は、逆が成り立つ。
[定理]有限個の元からなる整域は可換体である。
