[定義]部分群
は群であるとする。
Gの部分集合G'がGと同じ演算に関して群になっているとき、
あるいは単にG'はGの部分群（subgroup）であるという[1]。
ここで、GとG'の演算が同じということが大切である。単に同じ記号の演算を使っているだけではなく、G'においてであるとするのは、Gにおいてすでに
となっているときである。
例1：群Gにおいて、{e}（単位元のみの部分集合）とG（G自身）は部分群である。
どのような群においても成り立つので、この2つは自明な部分群と呼ばれる。
例2：群(Z,+)に対して、({3x|x∈Z},+)は部分群である。
例3：群に部分群
と
があるとき、
はGの部分群である。
しかし、はGの部分群とは限らない。
[定義]群Gの空でない部分集合SがGの部分群である必要十分条件は次の条件のうちの1つを満足することである[1]。
(i)
(ii)
