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*目次 [#i6a5115e]

#contents


*はじめに [#qcee30d9]

 メルセンヌ数に似ているものとして、2SUP{p};+1という形を考えることができる。

 2SUP{p};+1が素数となるのは、p=2SUP{n};(n≧0)となる場合に限られる。なぜならば、奇数kによりp=ek、e∈Nと表されたとすると次のように分解でき、k>1なら右辺の両因数は1よりも大きいからである。

&mimetex("2^p + 1");~
&mimetex("=(2^e)^k + 1");
&mimetex("=(2^e + 1) \{ (2^e)^{k-1} - (2^e)^{k-2} + \cdots - 2^e + 1\}");

 よって、この形で新しい素数を見つけようとするなら、p=2SUP{n};の場合を考えればよい。

*フェルマー数 [#g21a27c3]

[定義]&mimetex("F_n = 2^2^n + 1");(n≧0)の形の数を''フェルマー数''という。

[定義]フェルマー数が素数のとき''フェルマー素数''、合成数のとき''フェルマー合成数''という。

 17世紀にフェルマーはFSUB{n};はすべて素数になると予想した。しかし、1732年にオイラーはFSUB{5};が641で割り切れることを発見した。よって、FSUB{5};は合成数である。

&mimetex("F_5 = 2^2^5 + 1=2^32 + 1=4294967297 =641 \times 6700417");

[未解決問題]
(1)無限に多くのフェルマー素数があるか?
(2)無限に多くのフェルマー合成数があるか?

*フェルマー素数と作図問題の関係 [#b0784a9a]

 フェルマー素数は定規とコンパスだけによる平面図形の作図問題に関係している。当時19歳のガウスによって次の定理が証明された。

[定理](ガウス)~
自然数nに対して、正n角形が作図可能であるための必要十分条件は、相異なるフェルマー素数pSUB{1};,…,pSUB{k};とe≧0となる整数eになり、nが次の形で表されることである。
&mimetex("n=2^e p_1 \cdots p_k");


*参考文献 [#lfef34da]

-『工科系のための初等整数論入門 公開鍵暗号をめざして』