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*ラミの定理 [#i636a776]

#divid(s,thorem)
[定理]ラミの定理~
次の図のように点Oに3力が働き、これらの3力が釣り合うときには、3力の大きさと各力の作用線のなす角の間には、次の関係が成り立つ。

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/rami1.png)
#img(,clear)

&mimetex("\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}} = \frac{F_2}{\sin{\alpha_2}} = \frac{F_3}{\sin{\alpha_3}}");
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]

[1]FSUB{1};がx軸となるように、xy座標系を設定する。

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/rami2.png)
#img(,clear)

このとき、各力のx,y成分は次のようになる。

-FSUB{1};のx,y成分
--&mimetex("F_{1x} = F_1");
--&mimetex("F_{1y} = 0");
-FSUB{2};のx,y成分
--&mimetex("F_{2x} = F_2 \cos{\alpha_3}");
--&mimetex("F_{2y} = F_2 \sin{\alpha_3}");
-FSUB{3};のx,y成分
--&mimetex("F_{3x} = F_3 \cos{\alpha_2}");
--&mimetex("F_{3y} = F_3 \sin{\alpha_2}");

3力が釣り合うため、FSUB{2};とFSUB{3};のy成分について、次が成り立つ。

&mimetex("F_{2y}=F_{3y}");~
&mimetex("F_2 \sin{\alpha_3} = F_3 \sin{\alpha_2}");~
&mimetex("\frac{F_2}{\sin{\alpha_2}} = \frac{F_3}{\sin{\alpha_3}}"); ←(*)

[2]FSUB{3};がx軸となるように、xy座標系を設定する。

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/rami3.png)
#img(,clear)

-FSUB{1};のx,y成分
--&mimetex("F_{1x} = F_1 \cos{\alpha_2}");
--&mimetex("F_{1y} = F_1 \sin{\alpha_2}");
-FSUB{2};のx,y成分
--&mimetex("F_{2x} = F_2 \cos{\alpha_1}");
--&mimetex("F_{2y} = F_2 \sin{\alpha_1}");
-FSUB{3};のx,y成分
--&mimetex("F_{3x} = F_3");
--&mimetex("F_{3y} = 0");

3力が釣り合うため、FSUB{1};とFSUB{2};のy成分について、次が成り立つ。

&mimetex("F_{1y}=F_{2y}");~
&mimetex("F_1 \sin{\alpha_2} = F_2 \sin{\alpha_1}");~
&mimetex("\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}} = \frac{F_2}{\sin{\alpha_2}}"); ←(**)

ゆえに、(*)(**)より以下が成り立つ。

&mimetex("\frac{F_1}{\sin{\alpha_1}} = \frac{F_2}{\sin{\alpha_2}} = \frac{F_3}{\sin{\alpha_3}}"); □
#divid(e,proof)

*参考文献 [#g1f4e423]

-絵ときでわかる機械力学』