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*目次 [#s11091ab]

#contents


*完全数 [#u5c6c976]

#divid(s,thorem)
[定義]自然数nに対して、n自身を除くすべての正の約数の和がnと一致するとき、nを''完全数''という。
#divid(e,thorem)

#divid(s,thorem)
[定義]自然数nの正の約数すべての和をσ(n)と書く。
#divid(e,thorem)

#divid(s,thorem)
[定理]自然数nが完全数であるとき、σ(n)=2nが成り立つ。
#divid(e,thorem)

例:n=6は完全数である。なぜならば、6の正の約数は1,2,3,6であり、6自身を除いた数を足すと、1+2+3=6となるからである。
#divid(s,notice)
[例]n=6は完全数である。なぜならば、6の正の約数は1,2,3,6であり、6自身を除いた数を足すと、1+2+3=6となるからである。

-(左辺)=σ(6)=1+2+3+6=(1+2+3)+6=6+6=12
-(右辺)=2・6=12

*オイラー関数と完全数 [#o3097727]

#divid(e,notice)

*完全数の歴史 [#v52713d9]

-完全数の概念は『原論』の第7巻で定義されている。
--それ以前に完全数を扱った文献は知られていない。
-西暦100年頃にニコマンコスによって書かれた本にも、完全数として6,28,496,8128が挙げられている。
-p=11に対応する2096127(=(2SUP{11};-1)2SUP{11-1};)はしばしば誤って完全数とされたが、2047(=2SUP{11};-1)は素数ではない。
--2047=23×89

*完全数とオイラー関数 [#o3097727]

**素因数分解がわかっている自然数に対するσ(n)の計算 [#q2ec15b9]

#divid(s,thorem)
[定理]自然数nの素因数分解をn=pSUP{a};qSUP{b};rSUP{c};…とすれば、σ(n)は次の式で計算できる。~
&mimetex("\sigma(n)=\frac{p^{a+1} - 1}{p-1} \cdot \frac{q^{b+1} - 1}{q-1} \cdot\frac{r^{c+1} - 1}{r-1} \cdots");
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]次に示す等比級数の積を考える。

(1+p+…+pSUP{a};)(1+q+…+qSUP{b};)(1+r+…+rSUP{c};)…

 これを展開した際に現れる各項pSUP{α};qSUP{β};rSUP{γ};…により、nの正の約数が(重複なく)すべて与えられる。~
 なぜならば、[定理]「合成数nの素因数分解をn=pSUP{a};qSUP{b};rSUP{c};…とすれば、その正の約数の全体はpSUP{α};qSUP{β};rSUP{γ};…、0≦α≦a、0≦β≦b、0≦γ≦c、…で与えられる」が成り立つから。

 よって、この積の値はσ(n)に等しい。

σ(n)=(1+p+…+pSUP{a};)(1+q+…+qSUP{b};)(1+r+…+rSUP{c};)…

 さらに、等比級数の公式

&mimetex("1+p+\cdots+p^a=\frac{p^{a+1} - 1}{p-1}");

を適用すれば、次が成り立つ。

&mimetex("\sigma(n)=\frac{p^{a+1} - 1}{p-1} \cdot \frac{q^{b+1} - 1}{q-1} \cdot\frac{r^{c+1} - 1}{r-1} \cdots"); □
#divid(e,proof)

例:n=496が完全数かどうかを調べる。
#divid(s,notice)
[例]n=496が完全数かどうかを調べる。

 nが完全数であれば「σ(n)=2n」が成り立つため、まずσ(n)を計算する。

496=2SUP{4};・31と素因数分解できるので、σ(496)は次のようにして計算できる。

σ(496)~
=&mimetex("\frac{2^{4+1}-1}{2-1} \cdot \frac{31^{1+1}-1}{31-1}");~
=(32-1)(31+1)
=31・2SUP{5};
=2×496

 したがって、496は完全数である。 □
#divid(e,notice)

*完全数と[[メルセンヌ数]] [#ee4d3982]

#divid(s,thorem)
[定理]~
p:素数、MSUB{p};メルセンヌ素数(MSUB{p};=2SUP{p};-1)とする。~
このとき、MSUB{p};2SUP{p-1};の値(完全数になる)の1の位は6 or 8である。
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]2のべきは次のようになる。

2,2SUP{2};=4,2SUP{3};=8,2SUP{4};=16,2SUP{5};=32

よって、2SUP{p-1};の1の位は2,4,6,8のどれかである。

|2SUP{p-1};の1の位|2|4|6|8|説明|h
|2SUP{p};の1の位|4|8|2|6|上記の行を2倍した結果の1の位|
|2SUP{p};-1の1の位|3|7|1|5|メルセンヌ素数の候補。上記の行から-1をした結果の1の位|
|(2SUP{p};-1)2SUP{p-1};の1の位|6|8|6|0|一番上の行と1つ上の行を乗算した結果の1の位|

ただし、2SUP{p};-1の1の位の数が5の場合には、2SUP{p};-1は素数ではない。~
なぜならば、1の位の数が5で素数である場合は、5のときしかありえないが、2SUP{p};-1=5を満たす整数pは存在しないからである。~
よって、2SUP{p};-1はメルセンヌ素数ではないので、除外する。

したがって、MSUB{p};2SUP{p-1};の値の1の位は6 or 8である。 □
#divid(e,proof)

*完全数の偶奇性 [#neeabdf9]

-偶数の完全数は完全に決まったが、奇数の完全数は未だに1つも見つかっていない。
-奇数の完全数は、あれば数々の条件を満たさねばならないことが知られていて、おそらく存在しないと考えられているが、未解決である。

#divid(s,thorem)
[定理](未解決)~
奇数の完全数は存在しない。
#divid(e,thorem)

#divid(s,thorem)
[定理]完全数が存在すれば、10SUP{300};以上の数である。
#divid(e,thorem)

*完全数の無限性 [#fcf6a7c1]

#divid(s,thorem)
[定理](未解決)~
完全数は無限個存在する。
#divid(e,thorem)

#divid(s,notice)
[補講]メルセンヌ素数が無限にあるかわかっていないが、もし無限にあれば、偶数の完全数は無限にあることになる。 ◇
#divid(e,notice)

*参考文献 [#j10d45e6]

-『工科系のための初等整数論入門 公開鍵暗号をめざして』
-『なっとくするオイラーとフェルマー』