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*整数の割り算 [#i0eb6fda]
*整除 [#s698bc88]

[定義]~
整数a,bに対して、b≠0であり、かつある整数qにより、a=qbと表されるとき、aはbで''割り切れる''といい、bはaを''整除する''という。~
また、aをbの''倍数''、bをaの''約数(因数)''という。

 上記の定義においてq=0を考えると、整数bに対してb≠0ならば、0(=q)はbの倍数であり、bは0(=q)の約数である。

[系]整数bの倍数aに対して、|a|<|b|ならばa=0である。

[証明]aがbの倍数のとき、a/b(=q)は整数である。

また、|a|<|b|より|a/b|<1である。

よって、a/b=0となる。 □

[定理]整数aSUB{1};,aSUB{2};,…,aSUB{n};が整数bの倍数ならば、任意の整数xSUB{1};,xSUB{2};,…,xSUB{n};に対して、aSUB{1};xSUB{1};+…+aSUB{n};xSUB{n};もbの倍数である。

[例]6を割り切る整数は、-6,-3,-2,-1,1,2,3,6である。 ◇

[例]すべての整数は0を割り切る。6|0、100|0など。

なぜならば、どんな整数nについても、0=n×0が成り立つからである。n|n×0となる。 ◇

[例]1はすべての整数の約数である。

なぜならば、n=n×1が成り立つからである。 ◇

[定理]「m|n、m|k」⇒「m|(n+k)」

[証明]整数nSUB{1};,kSUB{1};があり、n=mnSUB{1};,k=mkSUB{1};となっているとする。

両辺を足し合わせると、n+k=m(nSUB{1};+kSUB{1};)となる。

ここで、nSUB{1};+kSUB{1};は整数なので、m|(n+k)が成り立つ。 □

*参考文献 [#zf055650]

-『算数からはじめよう!数論』

-『工科系のための初等整数論入門 公開鍵暗号をめざして』