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*目次 [#be93dd7e]

#contents


*内部抵抗を考慮した場合の最大電力 [#s1874da3]

**直流回路の場合 [#h8db83de]

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/yuunoudenryoku1.png)
#img(,clear)

-電源の中に非常に小さな抵抗(内部抵抗)が存在し、その抵抗によって電源の中でわずかな電圧降下が発生する。
--そのため、電流が大きくなるほど、電源の端子電圧が小さくなる。

&mimetex("V=E-rI");

こうしたことを踏まえ、抵抗Rで消費される電力の大きさが、電源の内部抵抗でどのように変わるかを調べる。

#divid(s,thorem)
[法則]有能電力の条件と値~
抵抗Rで消費する電力が最大になる条件は、内部抵抗rと抵抗Rが一致するときである。~
そして、そのときの電力は&mimetex("P_{max}=\frac{E^2}{4r}");である。~
この電力を''有能電力''と呼ぶ。

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/yuunoudenryoku2.png)
#img(,clear)
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]回路全体の合成抵抗はRSUB{0};=r+Rである。~
よって、回路に流れる電流Iは次のように計算できる。

&mimetex("I");~
&mimetex("=\frac{E}{R_0}");~
&mimetex("=\frac{E}{r+R}");

したがって、抵抗Rで消費される電力は次の通りである。

&mimetex("P");~
&mimetex("=RI^2");~
&mimetex("=R(\frac{E}{r+R})^2"); ←(*)

この式をもとに、抵抗Rを変化させたときのグラフは次の通りである。

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/yuunoudenryoku3.png)
#img(,clear)

(*)をRについて微分することで、PSUB{max};のRの値を知ることができる。~
すると、R=rのときに、Pは最大になっている。~

そのときの電力は次の通りである。

&mimetex("P_{max}");~
&mimetex("=R(\frac{E}{r+R})^2"); (∵(*))~
&mimetex("=R(\frac{E}{r+r})^2"); (∵R=r)~
&mimetex("=r(\frac{E}{2r})^2");~
&mimetex("=\frac{E^2}{4r}"); □
#divid(e,proof)

**交流回路の場合 [#q1d412b6]

#divid(s,thorem)
[法則]最大利用電力の条件と値~
電源の内部インピーダンスがr+jxで与えらるときに、それに接続する負荷のインピーダンスアgr-jxのときに、負荷で消費される電力が最大となる。~
負荷のインピーダンスをそのように合わせることを''整合''をとるという。~
整合を取ったときの電力を''最大利用電力''と呼び、次の値になる。~
&mimetex("P_m=\frac{|E_0|^2}{4r}");

#img(http://security2600.sakura.ne.jp/main2/image4/saidairiyoudenryoku1.png)
#img(,clear)
#divid(e,thorem)

#divid(s,proof)
[証明]この回路に流れる電流&mimetex("\dot{I}");は、次のように計算できる。

&mimetex("\dot{Z}");~
&mimetex("=\frac{\dot{E}_0}{\dot{Z}_0 + \dot{Z}}"); (∵[[オームの法則]])~
&mimetex("=\frac{\dot{E}_0}{(r+jx) + (R+jX)}");~
&mimetex("=\frac{\dot{E}_0}{(r+R) + j(r+R)}");

よって、負荷&mimetex("\dot{Z}");に供給される電力P(負荷&mimetex("\dot{Z}");で消費される電力)は、次の式で与えられる。

&mimetex("P");~
&mimetex("=|\dot{I}|^2 R");~
&mimetex("=|\frac{\dot{E}_0}{(r+R) + j(r+R)}|^2 R");~
&mimetex("=\frac{|\dot{E}_0|^2 R}{(r+R)^2 + (r+R)^2}"); ←(*)

[1]負荷のリアクタンスXが変数として見る場合

(*)を最大とするには分母をできるだけ小さくすればよいので、x+X=0のとき、即ちX=-xのとき、電力Pは最大となる。~
このとき、(*)は次のように書き換えられる。

&mimetex("P=\frac{|\dot{E}_0|^2 R}{(r+R)^2}");

[2]次に、負荷の抵抗Rを変数として見る場合

(*)を最大とするRを求めるには、(*)の式を微分した結果が0になるRを求めればよい。

&mimetex("\frac{dP}{dR} = 0");~
&mimetex("\frac{|\dot{E}_0|^2 (r+R)^2 - |\dot{E}_0|^2 R \cdot 2(r+R)}{(r+R)^4} = 0");~
&mimetex("\frac{|\dot{E}_0|^2 \{(r+R) -  2R\} }{(r+R)^3} = 0");~
&mimetex("\frac{|\dot{E}_0|^2 (r-R) }{(r+R)^3} = 0");~
&mimetex("r-R=0");~
&mimetex("R=r");

したがって、[1][2]より、&mimetex("\dot{Z} = r -jx");のときに最大値&mimetex("P_m=\frac{|E_0|^2}{4r}");を取る。 □
#divid(e,proof)

*参考文献 [#kf710939]

-『図解 はじめて学ぶ電気回路』