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  • 3つの平方数の和 へ行く。

*3つの平方数の和 [#h1fbb617]

 3つの平方数の和を考える。つまり、自然数nについて、方程式n=xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};(x,y,zは整数)に解があるかどうかを考察する。

#divid(s,notice)
[例]n=7のとき、次を満たす整数x,y,zは存在しないことを示す。

7=xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2}; ←(*)

x,y,zのどれかが負であれば、符号を変えればよいので(xSUP{2};=(-x)SUP{2};)、x,y,zは負でないとしてよい。~
また、x,y,zの順番を変えても一般性は失われない。よって、0≦x≦y≦zであるとする。

さて、z≧3であると、zSUP{2};≧9>7=nであり、(*)は成り立たないので、z≦2である。

[1]z=2のとき、3=xSUP{2};+ySUP{2};となるが、これを満たす整数x,yが存在しないことはすぐにわかる。

[2]z≦1のとき、(*)によって、xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};≦1SUP{2};+1SUP{2};+1SUP{2};=3となるので、この場合も(*)は成り立たない。

したがって、[1][2]により、(*)を満たす整数x,y,zは存在しない。 □
したがって、[1][2]により、(*)を満たす整数x,y,zは存在しない。 ◇
#divid(e,notice)

[定理]自然数nが次を満たすならば、解を持たない。

n≡7 (mod 8) ←(*)
#divid(s,thorem)
[定理](ディオフォントス)~
8n+7の形の自然数は、3つの平方数の和で書けない。
#divid(e,thorem)

[証明](*)を満たすnが3つの平方数の和xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};のように表せたと仮定する。
#divid(s,proof)
[証明]nが3つの平方数の和xSUP{2};+ySUP{2};+zSUP{2};のように表せたと仮定する。

ここで、[命題]「x:整数とする。xSUP{2};≡0 or 1 or 4 (mod 8)」より、xSUP{2};,ySUP{2};,zSUP{2};は8を法として0,1,4のどれかに合同である。

しかし、0,1,4から(重複を許して)どのように3つ選んでも、その3つの和が8を法として7に合同になることはない。

これは仮定に反する。よって、nが3つの平方数の和とならないことが示された。 □
#divid(e,proof)

#divid(s,proof)
[別証]&mimetex("(4n)^2 \equiv 0, (4n+1)^2 \equiv 1, (4n+2)^2 \equiv 4, (4n-1)^2 \equiv 1 \, \pmod{8}");なので、いかなる平方数も8を法として、0,1,4のいずれかに合同である。

よって、3つの平方数の和は8を法として、0,1,2,3,4,5,6のいずれかであり、7にはなることはない。 □
#divid(e,proof)

#divid(s,notice)
[補講]ディオフォントスは『数論』の第5巻の問題11で、この結果を書いている。 ◇
#divid(e,notice)

#divid(s,thorem)
[定理](E.ランダオ)~
自然数mが3つの平方数の和になるための必要条件は、4SUP{k};(8n+7)の形をしていないことである。
#divid(e,thorem)

*参考文献 [#u413c83c]

-『算数からはじめよう!数論』

-『なっとくするオイラーとフェルマー』